
\prob{0043}{四次方和}

求关于$x$的方程

\[ (x + 1)^4 + (x + 3)^4 = 82 \]

的实数根。
\problabels{yellow/代数, green/方程相关问题}

\ans{$x = -4$或$x = 0$}

\subsection{加减1}

基本思路：通过将原方程变形，从而消去三次项和一次项。

将原方程变形得

\[ \big((x + 2) - 1\big)^4 + \big((x + 2) + 1\big)^4 = 82 \]

展开得

\begin{align*}
  \big((x + 2) - 1\big)^4 + \big((x + 2) + 1\big)^4 &= 82 \\
  2(x + 2)^4 + 12(x + 2)^2 + 2 &= 82 \\
  \left((x + 2)^2\right)^2 + 6(x + 2)^2 - 40 &= 0 \\
  \big((x + 2)^2 - 4\big)\big((x + 2)^2 + 10\big) &= 0 \\
  (x + 2)^2 &= 4 \\
  x + 2 &= \pm2 \\
  x &= -2 \pm2 \\
\end{align*}

即$x = -4$或$x = 0$。综上，方程的两个实根分别为$x = -4$与$x = 0$。
